3楼 童心永駐
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你說, 1/2 +1/4 +1/8 +1/16 +... +2的無限大正整數次方分之一等于甚么? 為甚么?
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我們來逐步分析這個無限級數的求和問題：
**問題**：計算 \( \frac{1}{2} + \frac{1}{4} + \frac{1}{8} + \frac{1}{16} + \dots + \frac{1}{2^n} + \dots \) 的和。
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### **步驟 1：觀察級數的結構**
這是一個無限級數，每一項的形式為 \( \frac{1}{2^n} \)，其中 \( n \) 從 1 開始，逐漸增大。因此，級數可以表示為：
\[
S = \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{2^n}
\]
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### **步驟 2：識別級數的類型**
這是一個**等比級數**（幾何級數），其公比 \( r = \frac{1}{2} \)。等比級數的求和公式為：
\[
S = \frac{a_1}{1 - r}
\]
其中：
- \( a_1 \) 是首項，這里 \( a_1 = \frac{1}{2} \)；
- \( r \) 是公比，這里 \( r = \frac{1}{2} \)。
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### **步驟 3：代入公式計算**
將 \( a_1 = \frac{1}{2} \) 和 \( r = \frac{1}{2} \) 代入公式：
\[
S = \frac{\frac{1}{2}}{1 - \frac{1}{2}} = \frac{\frac{1}{2}}{\frac{1}{2}} = 1
\]
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### **步驟 4：驗證結果**
我們可以通過部分和來驗證這個結果。計算前幾項的和：
\[
S_1 = \frac{1}{2} = 0.5
\]
\[
S_2 = \frac{1}{2} + \frac{1}{4} = 0.75
\]
\[
S_3 = \frac{1}{2} + \frac{1}{4} + \frac{1}{8} = 0.875
\]
\[
S_4 = \frac{1}{2} + \frac{1}{4} + \frac{1}{8} + \frac{1}{16} = 0.9375
\]
隨著項數的增加，部分和逐漸接近 1，但永遠不會超過 1。因此，無限級數的和確實為 1。
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### **最終答案**
\[
\boxed{1}
\]
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发布于：2025-5-7